Isostatica Gavarini
26 giugno 1991

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Calcolo del determinante
della matrice cinematica




Appuriamo ora se il determinante della matrice cinematica uguale o diverso da zero:

la matrice 9x9 non deve certo spaventare: seguendo poche regole, facili da ricordare, si pu arrivare rapidamente a calcolare il determinante della matrice e poi, se si vuole ulteriormente semplificare, si pu anche solo calcolare se il determinante uguale o diverso da zero, tanto solo questo ci che bisogna ricercare.



Applichiamo quanto detto. Io ora vi faccio vedere con tutti i passaggi come si calcola il determinante, ma vi ricordo che per il nostro scopo basta sapere se diverso od uguale a zero.

Prendo in considerazione l'elemento alla riga 1 ed alla colonna 1 della matrice cinematica. Vale 1 e tutti gli altri numeri sulla stessa riga valgono zero; siamo quindi nella condizione 2). Il numero della riga pi quello della colonna vale 2 ed quindi un numero pari, allora il determinante della matrice cinematica dato dal numero 1, preso con lo stesso segno, moltiplicato per il determinante della matrice cinematica a cui stata tolta la riga 1 e la colonna 1:



Prendo in considerazione l'elemento alla riga 1 ed alla colonna 1 della nuova matrice (8x8). Vale 1 e tutti gli altri numeri sulla stessa riga valgono zero; siamo quindi nella condizione 2). Il numero della riga pi quello della colonna vale 2 ed quindi un numero pari, allora il determinante della matrice cinematica dato dal numero (1) che moltiplicava la matrice (8x8) precedente, moltiplicato per il numero 1, preso con lo stesso segno, moltiplicato per il determinante della nuova matrice (7x7) originata dalla matrice (8x8) togliendo la riga 1 e la colonna 1:



Prendo in considerazione l'elemento alla riga 2 ed alla colonna 1 della nuova matrice (7x7). Vale L e tutti gli altri numeri sulla stessa colonna valgono zero; siamo quindi nella condizione 2). Il numero della riga pi quello della colonna vale 3 ed quindi un numero dispari, allora il determinante della matrice cinematica dato dal numero (1) che moltiplicava la matrice (7x7) precedente, moltiplicato per il numero L, preso con segno opposto, moltiplicato per il determinante della nuova matrice (6x6) originata dalla matrice (7x7) togliendo la riga 2 e la colonna 1:



Prendo in considerazione l'elemento alla riga 1 ed alla colonna 1 della nuova matrice (6x6). Vale -1 e tutti gli altri numeri sulla stessa riga valgono zero; siamo quindi nella condizione 2). Il numero della riga pi quello della colonna vale 2 ed quindi un numero pari, allora il determinante della matrice cinematica dato dal numero (-L) che moltiplicava la matrice (6x6) precedente, moltiplicato per il numero -1, preso con lo stesso segno, moltiplicato per il determinante della nuova matrice (5x5) originata dalla matrice (6x6) togliendo la riga 1 e la colonna 1:



Prendo in considerazione l'elemento alla riga 2 ed alla colonna 1 della nuova matrice (5x5). Vale 1 e tutti gli altri numeri sulla stessa colonna valgono zero; siamo quindi nella condizione 2). Il numero della riga pi quello della colonna vale 3 ed quindi un numero dispari, allora il determinante della matrice cinematica dato dal numero (L) che moltiplicava la matrice (5x5) precedente, moltiplicato per il numero 1, preso con segno opposto, moltiplicato per il determinante della nuova matrice (4x4) originata dalla matrice (5x5) togliendo la riga 2 e la colonna 1:



Prendo in considerazione l'elemento alla riga 2 ed alla colonna 2 della nuova matrice (4x4). Vale 1 e tutti gli altri numeri sulla stessa riga valgono zero; siamo quindi nella condizione 2). Il numero della riga pi quello della colonna vale 4 ed quindi un numero pari, allora il determinante della matrice cinematica dato dal numero (-L) che moltiplicava la matrice (4x4) precedente, moltiplicato per il numero 1, preso con lo stesso segno, moltiplicato per il determinante della nuova matrice (3x3) originata dalla matrice (4x4) togliendo la riga 2 e la colonna 2:



Prendo in considerazione l'elemento alla riga 1 ed alla colonna 1 della nuova matrice (3x3). Vale L/2 e tutti gli altri numeri sulla stessa riga (o colonna) valgono zero; siamo quindi nella condizione 2). Il numero della riga pi quello della colonna vale 2 ed quindi un numero pari, allora il determinante della matrice cinematica dato dal numero (-L) che moltiplicava la matrice (3x3) precedente, moltiplicato per il numero L/2, preso con lo stesso segno, moltiplicato per il determinante della nuova matrice (2x2) originata dalla matrice (3x3) togliendo la riga 1 e la colonna 1:



A questo punto il calcolo del determinante semplicissimo: dato dal numero che moltiplicava la matrice precedente (-L quadro diviso 2), moltiplicato per il determinante della nuova matrice (2x2) che si calcola moltiplicando il numero a sinistra in alto per quello a destra in basso e sottraendo il numero a destra in alto moltiplicato per quello a sinistra in basso: