Determinante di una matrice quadrata, prodotto associato ad una matrice, complemento algebrico, matrice aggiunta e matrice inversa

Quanto detto in questa pagina è un sunto tratto dalle pagg. 275-310 del libro di Marcello Bruni "La figura e il numero 2". Colgo l'occasione di ricordare con piacere questa splendida persona oltre che un grande professore di cui sono orgoglioso di essere stato allievo.

Trasposta

Ad ogni matrice A di formato mxn se ne può associare una B di formato nxm che ha gli stessi elementi di A, ma disposti in altro modo, ovvero:

B=b_ij      con   b_ij=a_ji

Prodotto associato ad una matrice A d'ordine n

Prendo n elementi di A con la condizione che appartengano a righe ed a colonne diverse. Ne faccio il prodotto ed ottengo, a meno del segno, uno dei prodotti associati alla matrice. Per calcolare il segno, dispongo questi elementi in un ordine qualsiasi e valuto i numeri r e c che indicano rispettivamente le inversioni nella permutazione degli indici di riga e le inversioni nella permutazione degli indici di colonna. Se la somma r+c è pari considero il prodotto ottenuto con il suo segno, mentre se è dispari lo considero con il segno cambiato. Quanto detto è sicuremente incomprensibile ai più, quindi provo a semplificare il problema.

Dopo aver disposto gli elementi in un ordine qualsiasi, scrivo, in successione e con lo stesso ordine dato agli elementi, da una parte i numeri di riga e dall'altra i numeri di colonna degli elementi. Se i numeri sono ordinati in maniera tale che ogni numero è maggiore del precedente (se la matrice è di ordine n il numero più alto è proprio n: in questo caso si ricomincia da capo la sequenza considerando 1 come numero maggiore di n), il numero di inversioni nella permutazione è pari (segno +). In caso contrario il numero di inversioni nella permutazione è dispari (segno -). Sommando un numero pari con un numero pari o un numero dispari con uno dispari ottengo un numero pari, mentre se sommo un numero pari con uno dispari ottengo un numero dispari. Oppure si può vedere anche con le moltiplicazioni: piùxpiù=più, menoxmeno=più, piùxmeno=meno, menoxpiù=meno.

In pratica, se ho una matrice 3x3 e considero, ad esempio, gli elementi a₁₂, a₂₃, a₃₁, ho 6 modi per ordinarli:

Combinazione												i					j					r			c			r+c
a12 a23 a31												123					231					+			+			+
a12 a31 a23												132					213					-			-			+
a23 a12 a31												213					321					-			-			+
a23 a31 a12												231					312					+			+			+
a31 a12 a23												312					123					+			+			+
a31 a23 a12												321					132					-			-			+

Questi sei prodotti associati vengono detti equivalenti. Sono numericamente uguali e, nel nostro caso, vanno presi con il segno che deriva dalla loro moltiplicazione, visto che r+c è pari.

Determinante di una matrice quadrata

Si chiama determinante di una matrice quadrata d'ordine n la somma degli n! (n fattoriale) prodotti associati ottenuti non considerando mai due prodotti equivalenti.

Viene indicato con detA oppure racchiudendo gli elementi della matrice tra barrette verticali, anziché tra parentesi tonde.

Per il calcolo del determinante di una matrice 3x3 ci sono due modi facili per ricordarsi come effettuarlo.


Il primo metodo è grafico:

Il determinante è la differenza tra la somma dei 3 prodotti degli elementi uniti dalle linee del disegno di sinistra e la somma dei 3 prodotti degli elementi uniti dalle linee del disegno di destra, ossia:

Il secondo metodo detto Regola del Sarrus (Sarrus Pierre-Frédéric St.-Afrique, Aveyron 1798 ivi 1861) consiste nel costruire una tabella con la matrice data più l'aggiunta in fondo delle prime due colonne:

il determinante si ottiene come differenza tra la somma dei 3 prodotti degli elementi sulle diagonali da nord-ovest a sud-est e la somma dei 3 prodotti degli elementi sulle diagonali da sud-ovest a nord-est, ossia:

Per il calcolo del determinante valgono, tra gli altri, i seguenti teoremi:

Se gli elementi di una riga (o di una colonna) si moltiplicano per uno stesso fattore, il determinante risulta moltiplicato per questo fattore.

Il determinante non cambia se ad una riga (colonna) si somma una combinazione lineare di altre righe (colonne).

Se una riga (colonna) è una combinazione lineare di altre righe (colonne) e, in particolare, se due righe (colonne) sono proporzionali o addirittura uguali, il determinante è nullo (matrice singolare).

Minore complementare

Si definisce minore complementare dell'elemento a_ij nella matrice A d'ordine n, la matrice A_ij d'ordine n-1 che si ottiene escludendo da A la riga i-ma e la colonna j-ma.

Complemento algebrico

Matrice aggiunta

E' possibile associare ad ogni matrice quadrata A un'altra matrice dello stesso formato che ha come elementi i complementi algebrici degli elementi di A; essa si chiama matrice aggiunta di A e si indica con A^(a). Ponendo B=A^(a) e C=A^T si ha:

b_ij=c'_ij=a'_ji

Matrice inversa

Si ottiene dividendo per il determinante di A ogni elemento dell'aggiunta.