Principio di equivalenza: riduzione nodale dei carichi



(cfr pag. 412 e 474 Baldacci 2)




Il principio di equivalenza permette di sostituire ai carichi effettivamente applicati lungo le aste di un telaio le reazioni equivalenti esercitate dai vincoli nodali negli estremi delle aste stesse.

Quindi, per la determinazione degli spostamenti dei nodi possiamo pensare le aste scariche ed applicare direttamente ai nodi, oltre le risultanti Ri delle forze e coppie su di essi insistenti, le azioni -Ri0 indotte dai carichi agenti lungo le aste nel sistema a nodi bloccati, cioè le reazioni dei vincoli rigidi imposti agli estremi delle aste.

N.B.: in tali condizioni, la deformata di ciascuna asta differisce da quella reale, ma gli spostamenti dei suoi estremi risultano ancora quelli reali.





Si consideri un'asta compresa tra i nodi i e j di un telaio elastico piano.


N.B.: i nodi i e j non devono essere necessariamente reali, cioè non è detto che debba considerare solo i punti del telaio in cui concorrano 2 o più aste; possono anche essere qualunque altro punto, con la sola condizione che nell'andare da uno all'altro non si incontri un nodo reale.


Quest'asta sia caricata in modo qualunque:





L'asta soggetta a questa condizione di carico subirà delle deformazioni e i nodi i e j finiranno rispettivamente nelle nuove posizioni i' e j' e, in generale, varierà anche la tangente alla curva (asta deformata) nei nuovi punti.





si considerino come positivi i versi indicati in figura:




N.B.: rispetto alle convenzioni classiche sui segni, qui le caratteristiche di sollecitazione nelle sezioni terminali di ciascuna asta si considerano positive se concordi con gli spostamenti corrispondenti. Cioè nel riferimento (,) sono positivi: il momento flettente M se antiorario, la forza tagliante T se presa nel verso positivo di , la forza normale N se presa nel verso positivo di , prescindendo dal fatto se tali caratteristiche rappresentino le azioni trasmesse alla sezione terminale di sinistra od alla sezione terminale di destra di ciascuna asta.
: ha origine al nodo i ed è perpendicolare all'asta ij.
: ha origine al nodo i ed è parallelo all'asta ij.
wi : lo spostamento del nodo i lungo la direzione (positivo se verso le crescenti).
wj : lo spostamento del nodo j lungo la direzione (positivo se verso le crescenti).
vi : lo spostamento del nodo i lungo la direzione (positivo se verso le crescenti).
vj : lo spostamento del nodo j lungo la direzione (positivo se verso le crescenti).
i : l'angolo che la tangente alla curva (asta deformata) nel punto i' forma con l'asse (positivo se preso antiorario).
j : l'angolo che la tangente alla curva (asta deformata) nel punto j' forma con l'asse (positivo se preso antiorario).
h : l'angolo che l'asta h (i'j') forma con l'asse (positivo se preso antiorario).




Si possono scrivere le reazioni equivalenti come:

Ri,e = Ri - Ri0 = KiiSi + KijSj

Rj,e = Rj - Rj0 = KjiSi + KjjSj


Ri,e : reazione equivalente al nodo i.
Nel piano (2D) è una matrice 3x1:
Ri,e = (Ni,e, T i,e, M i,e)T = (pi, qi, mi)T.
Nello spazio (3D) è una matrice 6x1:
Ri,e = (Ni,e, T i,e, T i,e, M i,e, M i,e, M i,e)T.

Rj,e : reazione equivalente al nodo j.
Nel piano (2D) è una matrice 3x1:
Rj,e = (Nj,e, T j,e, M j,e)T = (pj, qj, mj)T.
Nello spazio (3D) è una matrice 6x1:
Rj,e = (Nj,e, T j,e, T j,e, M j,e, M j,e, M j,e)T.

Ri : è il vettore colonna delle reazioni al nodo i
dovute al carico a cui è sottoposta l'asta h.
Nel piano (2D) è una matrice 3x1:
Ri = (Ni, T i, M i)T = (Ni, Ti, Mi)T.
Nello spazio (3D) è una matrice 6x1:
Ri = (Ni, T i, T i, M i, M i, M i)T.

Ri0 : è il vettore colonna delle reazioni al nodo i
dovute al generico carico sull'asta h pensando
l'asta h perfettamente incastrata alle estremità.
Nel piano (2D) è una matrice 3x1:
Ri0 = (Ni0, T i0, M i0)T = (Ni0, Ti0, Mi0)T.
Nello spazio (3D) è una matrice 6x1:
Ri0 = (Ni0, T i0, T i0, M i0, M i0, M i0)T.

Rj : è il vettore colonna delle reazioni al nodo j
dovute al carico a cui è sottoposta l'asta h.
Nel piano (2D) è una matrice 3x1:
Rj = (Nj, T j, M j)T = (Nj, Tj, Mj)T.
Nello spazio (3D) è una matrice 6x1:
Rj = (Nj, T j, T j, M j, M j, M j)T.

Rj0 : è il vettore colonna delle reazioni al nodo j
dovute al generico carico sull'asta h pensando
l'asta h perfettamente incastrata alle estremità.
Nel piano (2D) è una matrice 3x1:
Rj0 = (Nj0, T j0, M j0)T = (Nj0, Tj0, Mj0)T.
Nello spazio (3D) è una matrice 6x1:
Rj0 = (Nj0, T j0, T j0, M j0, M j0, M j0)T.

Kii, Kij,    
Kji, Kjj :
sono le matrici di rigidezza relative all'asta h
e al sistema di riferimento locale (,).
Nel piano (2D) sono matrici 3x3,
nello spazio (3D) sono matrici 6x6.

Si : è il vettore colonna degli spostamenti al nodo
i indotti dal carico applicato sull'asta h.
Nel piano (2D) è una matrice 3x1:
Si = (wi, vi, i)T = (wi, vi, i)T.
Nello spazio (3D) è una matrice 6x1:
Si = (wi, ui, vi, ; i, i, i)T.

Sj : è il vettore colonna degli spostamenti al nodo
j indotti dal carico applicato sull'asta h.
Nel piano (2D) è una matrice 3x1:
Sj = (wj, vj, j)T = (wj, vj, j)T.
Nello spazio (3D) è una matrice 6x1:
Sj = (wj, uj, vj, j, j, j)T.



N.B. : M = Mt (momento torcente), = (si guardi la pagina sulla deformazione di un tronco infinitesimo di trave.